8.5.1. Зростання, спадання та екстремуми функції


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Ф Означення 7. Функцію y = fyxj називають зростаючою

(спадною) в проміжку (a,bj, якщо більшому значенню аргументу в цьому проміжку відповідае більше (менше) значення функціг, тобто якщо із нерівності х2 >хх випливае нерівність f(x2)>f(x1), mo

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

fXx)

Y ^

0

a

Мал. 3.

6 b

X

функція f\x) - зростаюча,

a якщо fyx2j<fyxxj, mo

функція f\x) спадна.

Ha малюнку 3 бачимо, що в [a,bj функція fi{xj -

зростаюча, a f2 [xj - спад-

на.

Необхідна ознака зростання (спадання) функції

Якщо диференційована функція зростає (спадає) в деякому про-міжку, то похідна цієї функції невід’ємна (недодатна) в цьому проміжку

Доведення. Нехай f(x) - диференційована функція і зростає в уа,Ь). Згідно з означенням похідної

f[x + Ax)-f[x)

Ах

f'(x)= lim

Лжн>0

Якщо х та х + Ах належать [a,bj, то в силу зростання функції у = f(x) знаки приросту функції та приросту аргументу однакові.

Тому

f(x + Ax)-f(x)

Ax

> 0 , при Ax Ф 0.

Оскільки границя додатної величини не може бути від’ємною, тому переходом до границі в цій нерівності одержимо

/'(х)>0.

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Тим самим твердження ознаки доведено у випадку зростання функції.

У випадку спадної функції доведення аналогічне. У цьому ви-падку прирости функції та аргументу мають різні знаки, тому

f(x + Ax)-f(x)   ,,/ ч

            <0 і / (х)<0,

Ax       w

що і треба було довести.

Достатня ознака зростання (спадання) функції

Якщо похідна диференційованої функції додатна всередині дея-кого проміжку, то функція зростає в цьому проміжку.

Якщо похідна диференційованої функції від’ємна всередині дея-кого проміжку, то функція спадає в цьому проміжку.

Доведення. Нехай f'(x)>0 при а<х<Ь. Для довільних

x1 <х2, що належать (а,Ь), згідно з теоремою Лагранжа маємо

f(x2)-f(x1) = (x2-x1)-f'(t;),

де x1 < £<х2, а тому £є[а,Ь). Із нерівностей          0 та

/'(<f)>0 випливає f(x2 )-/(хЛ > 0 або f(x 2)>f(x 1) при

х2 > х1. Але це означає, що f[x) зростаюча функція в [a,bj. Друге твердження достатньої ознаки доводиться аналогічно.

• Означення 8. Зростаюча або спадна функція називаеться мо-нотонною. Проміжки, в яких задана функція зростае або спадае, на-зивають проміжками монотонності цієї функції.

Для знаходження інтервалів монотонності заданої функції у = f(x) доцільно дотримуватись такого порядку дій:

1)         знайти похідну fyxj;

2)         знайти корені рівняння f'(x) = 0;

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

3)         визначити знак похідної f'(x) в кожному із інтервалів, на які

поділяється область існування функції fix) знайденими коренями

рівняння f'(x) = 0;

4)         за одержаними знаками похідної зробити висновок, в якому

інтервалі функція зростає, а в якому спадає.

■ Приклад 10. Витрати виробництва визначені функцією V(x) = 2x3-6x + 7 . Знайти її інтервали монотонності.

^> Розв’язання. Задана функція існує при хє (— °°,°°), але

економічний зміст лише для X > 0 . Знаходимо похідну:

V'(x) = 6x2-6 = 6(x2-1).

Із         6(х2 — 1) = 0 => х1 = — 1, х2 =1.

Ці значення поділяють вісь Ох на інтервали (-°°,-1), (—1,1), (1,°°). В кожному з цих інтервалів V'(x) має постійний знак.

При хє (— °°,—1j V'(x)>0.

При хе (-1,1) У'(дг)<0.

При хе (1,°°) У'(дг)>0.

Отже, функція У(х) зростає при хє (-°°,-1)U(1,00) і спадає в інтервалі (-1,1). З економічної точки зору, ця функція спадає в інтер-валі (0,1) і зростає в (1,°°).

має

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

• Означення 9. Функція f(x) мае при х = х0 максимум

(мінімум), якщо існуе такий окіл точки х0, для усіх точок х якого виконуеться нерівність

f (х0) > / (х) для максимуму,

/(х0)</(х) для мінімуму.

Узагальненим терміном понять максимуму та мінімуму е екст-ремум.

Значення аргументу х = х0 (тобто точки х0 ) при якому функ-

ція f \х) має екстремум (максимум або мінімум) називають точ-

кою екстремуму функції (максимуму або мінімуму, відповідно).

В економічних дисциплінах екстремум функції називають її ло-кальним оптимумом, а процес знаходження екстремального значен-ня функції називають оптимізацією.

Функція, графік якої зображено на малюнку 4, має в точці х

максимум, а в точці х2 - мінімум. В означенні 9 окіл точки х0 може

бути малим, тому екстремум має локальний характер, він не зале-жить від поведінки функції в точках, що віддалені від екстремальної

точки. Так, на малюнку 4: f[x3 j > f[x1 j = ymax.

Yt        у = f(x)^

Г

            /і\7Т

            1 і X

0          X х„ XQ

1 2 3

В точках екстремуму дифе-ренційованої функції дотична до графіка функції паралельна осі Ох, тому її кутовий ко-ефіцієнт дорівнює нулю.

Рівність

fyX) = 0 (24)

називають необхідною умо-вою існування екстремуму

функції у = f(x), а розв’яз-

Мал. 4.           ки цього рівняння називають

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

підозрілими на екстремум точками. Критичними точками першого роду називають корені рівняння (24) та точки, в яких f'{x) не існує.

Щоб визначити, в яких з критичних точок функція має екстре-мум, треба застосувати достатні умови існування екстремуму, які опи-сує слідуюча теорема.

+ Теорема (достатні умови існування екстремуму функції). Якщо f(x) диференційована в околі критичної точки першого

роду х = xn і її похідна fix)'-

1)         зліва від цієї точки (при х<хп) додатна, а справа (при х > xn) від’мна, то в точці хп функція має максимум;

2)         зліва (при х<хп) від’ємна, а справа (при х>хп) додат-на, то в точці хп функція має мінімум;

3)         зліва та справа від точки хп має однаковий знак, то в точці хп функція не має екстремуму.

Доведення. Нехай при переході аргументу х через точку х0 зліва

направо похідна f\XJ змінює знак з плюса на мінус. Це означає,

що зліва від хп знаходиться проміжок зростання функції, а справа -

проміжок спадання функції. Тому, точка хп є точкою максимуму функції. Аналогічно впевнюються, що при зміні знака похідної з міну-са на плюс при переході х через х0 зліва направо, точка х0 буде

точкою мінімуму функції f\X). Якщо похідна не змінює свого зна-

ка при переході х через х0, то це означає, що функція f{xj з обох

сторін точки х0 зростає або спадає і тому в точці х0 функція не має екстремуму. При доведенні використали існування похідної зліва та

справа від точки х0, а в точці х0 похідна може не існувати. Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

У зв’язку з тим, що екстремум функції - локальний оптимум дуже часто використовується в економічній практиці, дамо схему дослід-ження функції на екстремум:

1)         знаходять похідну f'(x) заданої функції;

2)         знаходять критичні точки першого роду (значення х, при яких f\XJ не існує або дорівнює 0);

3)         визначають знак f'(x) в околі кожної критичної точки;

4)         роблять висновок, чи має функція екстремум у знайдених точ-ках і який саме (мінімум чи максимум);

5)         обчислюють екстремальні значення функції в точках екстре-

муму.

Доцільно у ході дослідження використовувати таблицю по ана-логії з наведеним нижче прикладом.

■ Приклад 11. Знайти екстремуми функції у = 2х3 -9х2 + \2х + 7.

^> Розв’зання. Розв’зання проведемо згідно вказаної схеми.

1)         знаходимо похідну: у' = Qx2 -18л;+ 12 = 6(х — і)(х — 2)',

2)         знаходимо критичні точки першого роду: із          б(х-і)(х-2) = 0 => xt = 1, х2 = 2,

ІНШИХ ТОЧОК НЄ МаЄ ТОМу, ЩО у' ВИЗНаЧЄНа ПрИ уСІХ ХЄ (— oo;ooj ;

3)         критичні точки х. та хп поділяють область існування функції

на інтервали постійного знака похідної (записуємо критичні точки та відповідні інтервали у перший рядок таблиці 1). Визначаємо знак

f\XJ в кожному інтервалі (записуємо ці знаки у другий рядок таб-

лиці 1);

4)         згідно з достатніми умовами існування екстремуму функції

робимо висновок відносно кожної критичної точки. (Характер пове-

дінки функції відображаємо у третьому рядку таблиці 1);

5) Обчислимо максимальне та мінімальне значення функції:

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Таблиця 1

 

X         (-00,-1)           xt = l    (U)       x2 = 2  (2,oo)

/'М       +          0          -          0          +

f(*)      /           max      \           min       /

Ушш=у(1) = 2-1-9-1 + 12-1 + 7 = 12, Ушіп=у(2) = 2-8-9-4 + 12-2 + 7 = 11.