8.4. Основні теореми диференціального числення


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Застосування похідних під час дослідження функції базується на слідуючи теоремах, що доведені математиками Франції у XVII та XVIII століттях.

+ Теорема Лагранжа (про скінчений приріст функції). Якщо функція у = f(x) неперервна на [а,Ь\ і має похідну в усіх точ-

ках інтервалу (а,Ь), то всередині цього інтервалу існує хоча б

одна точка £,{а<В, < й)така, що виконується рівність

І'\ь)-    (21)

№-f(«)

Ь-а

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Дамо геометричне дове-дення цієї теореми. Прове-демо січну АВ до графіка

у = f (х) (див. мал. 2) і буде-

мо пересувати цю січну пара-лельно самій собі, поки вона не стане дотичною до графіка

функції в деякій точці С з аб-сцисою ^. Відмітимо, що до-

Мал. 2.

тичну до графіка функції можна провести в кожній точці, що лежить всередині

[a,6J, тому що за умовою теореми функція має похідну в усіх точ-

ках [a,bj.

Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює кутовому коефіцієнту січної, а саме

BN _ f(bj-f(a)

AN~ b^a Але, згідно з геометричним змістом похідної, кутовий коефіцієнт

дотичної до графіка функції в точці С дорівнює fy£). Одержимо рівність

Ь-а

=/V),

що і треба було довести.

Рівність (21) називають формулою Лагранжа. Її можна записа-ти у вигляді

f(b) — f(a) = fy£y(b — ci),      (22)

і тоді доведену теорему можна сформулювати так: скінчений приріст диференційованої функції на відрізку дорівнює відповідному приросту

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

аргументу, помноженому на значення похідної функції в деякій внутрішній точці відрізка.

+ Теорема Ролля (про нулі похідної). Якщо функція у = fix)

неперервна на відрізку [а,Ь\, диференційована в усіх внутрішніх точках цілого відрізка, а на його кінцях приймає рівні значення, то похідна fix) дорівнює нулю хоча б в одній внутрішній точці

£(а<£ <Ь) цього відрізка.

Доведення. Якщо fix) неперервна на [а,Ь\ і диференційована в

усіх внутрішніх точках, тоді для f \х), згідно з теоремою Лагранжа,

має місце рівність (22). За умовою теореми Ролля fib) = fid), тому одержуємо

(ь-ау/'(ї) = о.

Але Ьфа, тому b-а^О і з останньої рівності випливає, що f'i£) = 0. Теорема доведена.

Теорема Ролля має простий геометричний зміст: якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа і приймає рівні значення на кінцях відрізка, то знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка функції буде паралельна осі абсцис.

+ Правило Лопіталя. Нехай fix) ma g[x) - неперервні ma

мають похідні в усіх х Фа з околу точки х = a, а в точці a рівні нулю або нескінченності. Тоді границя відношення функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існуе, тобто

fix)       fix)

lim—-—- = lim—-—-.           (23)

%^a g[x) %^a g [x)

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

fix)       0

Якщо відношення —-—- знову є невизначеністю вигляду — або

g'ix)      0

— і похідні / \х) та g [XJ задовольняють умовам правила Лопі-

оо

таля, то для обчислення границі можна застосувати правило Лопіта-ля вдруге і т.д.

■ Приклад 9. Обчислити lim— .

^> Розв’язання. Уданому випадку f(x) = x3 та g\x) = ex задо-вольняють умовам правила Лопіталя. Відношення їх є невизначеність

 

вигляду — при х —> °°. Застосувавши правило Лопіталя, одержуємо:

оо

lim— = lim       = lim— = lim— = 0.