Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
8.3. Похідні вищих порядків 8.3.1. Поняття похідних и-го порядку : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

8.3. Похідні вищих порядків 8.3.1. Поняття похідних и-го порядку


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Нехай функція у = fix) визначена та має похідну першого по-рядку в інтервалі (а,Ь). Тоді її похідна у' = fix) також буде функ-цією, що визначена в (а,Ь). Можна чекати, що ця функція f'(x) має похідну в деякій точці х інтервалу (а,Ь). Таку похідну називають

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

другою похідною або похідною другого порядку функції у = f[xj в точці х і позначають

f"(x) або у", у" або —2.

dx

Аналогічно визначають похідні третього, четвертого порядків. • Означення 6. Нехай п = 1, 2, 3,... Якщо функція у = f(x) мае

похідну (п — 1) порядку, диференційовану в деякій точці х інтервалу

[а,Ь), то похідну від f (х) називають похідною п-го порядку і позначають так:

f (х), у^"', у" , або —.

dx n

Згідно з цим означенням п похідна функції у = fyxj визначаєть-ся рівністю

(16)

In)

(ге-1)

Похідні вищих порядків мають широке застосування.

Так, якщо функція S = S(t) описує закон руху матеріальної

точки, то її перша похідна S'{t\ дає величину миттєвої швидкості, а

друга похідна S"(t\ дорівнює швидкості зміни швидкості, тобто це є прискорення в момент t.

Якщо Wx) є функція виробничих витрат (витрати на виготов-

лення х виробів), то V'(x) дає маргінальну вартість, тобто витрати на досить малу частину виготовлення додаткової продукції. Друга похідна V"(x) дає швидкість зміни маргінальної вартості відносно змін кількості випуску продукції. Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

■          Приклад 7. (Аналіз функції витрат). Для функції витрат

У(х) = 0,001х3-0,3х2+40х + 1000

маргінальна вартість буде

У'(х) = 0,003х2-0,6х + 40, друга похідна має вигляд

У"(х) = 0,006х-0,6 = 0,00б(х-100).

Коли х = 150 маємо: V'(150) = 17,5; V*(150) = 0,3.

Остання рівність означає, що кожна додаткова одиниця виробле-ної продукції спричиняє зростання на 0,3 маргінальної вартості.

■          Приклад 8. Знайти похідну першого та вищих порядків

функції

г/ = 3х4-5х3+7х2-1.

^ Розв’язання. Шляхом послідовного диференціювання знаходимо:

у'' = 12х3 -15х2 + 14х

У = 36х2-30х + 14 г/3)=72х-30

г/ -72

Для п > 5 маємо у^п> = 0.

Вкажемо декілька формул, які використовуються при знаходженні похідних порядку п > 2 .

 ■ \W - Г ?L)

^smxj — sin x + w-— (17)

 І^ - {  —^]

^cosxj —cos x + w-—            (ig)

[У + U + Vj =у +U +V           (1У)

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

I           \(")       (")        , 1 ("-1) ' , /^2 (re-2) № , ^3 (n-3) (3) ,

[u-v) =w '■v + Cnir '-v+Lnw '-v +Lnw >■&>+...

(n)        (20)

+u-v

де C

m

zz        

m![n-my!