8.2.4. Приклади з економічним змістом


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

■          Приклад 1. Для функції витрат підприємства (у гривнях)

V(x) = 0,001x3-0,3x2+40x + 1000

знайти маргінальну вартість як функцію x та обчислити маргінальну

вартість, коли вироблено x 1 = 50, x2 = 100 та x3 =150 одиниці про-

дукції.

^ Розв’язання. Згідно з пунктами 1.1 та 1.2 цього розділу для знаходження маргінальної вартості треба знайти похідну функції витрат, тобто

V'(x) = [0,001x3 -0,3x2 +40x + 1000]' = 3-0,001x2 -0,6-x + 40.

Одержали функцію маргінальної вартості для довільної кількості x виготовлених одиниць продукції, коли приріст x зростає на дос-татньо малу величину.

При x 1 = 50 одержимо

V(50) = 0,003-(50)2-0,6-50 + 40 = 7,5-30 + 40 = 17,5. При x 2 =100 маємо

V(100) = 0,003-(100)2-0,6-100 + 40 = 30-60 + 40 = 10. Коли x 3 =150, тоді

V(150) = 0,003-(150)2-0,6-150 + 40 = 67,5-90 + 40 = 17,5.

Отже, можна казати, що вартість виготовлення 51-ої та 151-ої одиниць продукції підприємства буде 17 гривень 50 копійок (Дx = 1), а вартість 101-ої одиниці буде лише 10 гривень.

■          Приклад 2. Для функції витрат виробництва x одиниць про-

дукції (у гривнях) вигляду Vyxj = 1000 + 10x + 0,1x знайти маргі-

нальну вартість та середню вартість виробництва одного виробу підприємства.

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

^> Розв’язання. Маргінальна вартість виробництва буде

V'(x) = 10 + 0,2x. Середня вартість виготовлення одиниці продукції буде

Т, , V(x) 1000

V(x) =— =      + 10 + 0,1x.

Неважко бачити, що ці величини зовсім різні.

■ Приклад 3. Визначити маргінальний доход виробництва 300 одиниць виробів, якщо кількість виготовлених виробів знаходиться за формулою

x = 1000-100p,

де p - роздрібна вартість одного виробу.

^> Розв’язання. Спочатку визначимо роздрібну вартість p оди-ниці виробу як функцію кількості x, виготовлених виробів. Із заданої рівності

x = 1000 -100 p => ІООp = 1000 -x => p = 10-0,01x. Функція доходу буде

D(x) = x.p = x(Ю-0,01x) = 10x-0,01x2.

Для знаходження маргінального доходу при x = 300 треба знай-

ти значення D'(x) при x = 300. Шляхом диференціювання функції D(x) одержимо

D'(x) = 10-0,02x. Отже, маємо

D'(300) = 10-0,02-300 = 10-6 = 4.

В Приклад 4. Шдприємство виготовляє x виробів, роздрібна вартість кожного з них - p , причому

p + 0,1x = 80, а функція витрат V (x) = 5000 + 20x (у гривнях).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Знайти маргінальний прибуток, якщо виготовлено та продано 150 і 400 виробів.

^> Розв’язання. У даному випадку функцією доходу буде

D(x) = x-p = x(80-0,1x) = 80x-0,1x2. Прибуток від виготовлення та продажу x виробів буде P(x) = D(x)-V(x) = 80x-0,1 x2-(5000 + 20x) = 60x-0,1x-5000. Знайдемо маргінальний прибуток для довільного x:

P'(x) = (60x-0,1 x2-5000)'=60-0,2x. Тому для x = 150 та x = 400 одержимо: P'(150) = 60-0,2-150 = 30, P'(400) = 60-0,2-400 = -20.

Отже підприємство буде мати збитки розміром 20 гривень за кожний виріб, який буде виготовлено та продано при зростанні кількості виробів.

■ Приклад 5. (Прибуток та реклама). Мале підприємство може виготовити та продати кожну одиницю виробу з прибутком 10 гривень. Якщо підприємство витрачає x гривень на рекламу виробів, тоді кількість проданих виробів дорівнює

1000f1-e-0,001 xJ-x-10"1.

Знайти швидкість зміни прибутку, відносно зміни витрат на рек-

ламу при x = 1000 та x = 3000.

Q> Розв’язання. Оскільки кожен виріб дає 10 гривен прибутку, тому задана кількість проданих виробів дає прибуток

P = 10000(1 -e-0,001x \-x з урахуванням витрат на рекламу. Швидкість змін прибутку відносно зміни витрат на рекламу знайде-мо шляхом диференціювання P:

P' = -10000(e"0,001x)'-1 = -10000-(-0,001)e"0,001x-1 = 10е"°'001-1. Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

При х = 1000 та х = 3000 маємо

Р'(1000) = 10-е"1 -1 = 10-0,3679-1 = 2,679,

Р'(3000) = 10-е"3 -1 = 10-0,0498-1 = -0,502.

Отже, при витратах на рекламу 3000 гривень прибутки спадають.

■ Приклад 6. Нехай валовий продукт деякої держави змінюєть-ся з часом t за формулою

П = 100 +1 (мільярдів гривень), а кількість населення змінюється за законом

Р = 120 + 2t (мільйонів). Знайти швидкість зміни частини валового продукту держави, що припадає на кожного громадянина.

^> Розв’язання. Позначимо через y(t\ частину валового продук-

ту держави, що припадає на кожного громадянина. За умовою цього прикладу

/ ч п 100+t

іі г = — =        (тисяч гривень на одну особу).

v ; Р 120 + 2t

Використовуючи механічний зміст похідної та правило диферен-

ціювання частки, знаходимо шукану швидкість

ч_100 + £)'-(120 + 2£)-(100 + £)-(120 + 2£)'_

У^~     (120 + 2t 2      ~

_1-(120 + 2£)-2(100 + £)_

(120 + 2t 2

120 + 2^-200-2^        -80      -20

4(60 + t)          4(60 + t) (60 + t)

Отже, частина валового продукту кожного громадянина з часом

зменшується.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»