8.2.3. Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Якщо функціональна залежність між у та х задана неявно, тоб-то рівністю F(x,y) = 0 , тоді для знаходження похідної no х функції у треба продиференціювати тотожність F(x,y(x)) = 0 , враховую-чи, що у залежить від х, а потім розв’язати рівняння, яке одержа-ли, відносно у'.

■ Приклад. Знайти у', якщо у2 -2рх = 0.

^> Розв ’язання. Продиференціюємо задане рівняння no х:

2у- у'-2р = 0 => 2у- у' = 2р => у' = ^.

Використовуючи цей спосіб, знаходять похідні обернених триго-нометричних функцій, а саме:

якщо г/= arcsmx, TO у = ,      ;

Vl-x2

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

-1

4ї^г

якщо у = arccos х, то у

, і

якщо у = arcter, TO у =          ;

^          ^          1 + х2

, -1 якщо у = arcctgx, то у

1 + х2 Нехай залежність у від х задана параметрично у вигляді

\x = <p(t)

і           ,           (14)

\y = wit)

де t - параметр.

При зміні t змінюється х та у, а точка з координатами (х,у) рухається по деякій лінії на площині, яка є графіком залежності у від х.

Якщо t одержить приріст At, то х та у також одержать прирісти

Ax = <p(At + t)-<p(t), Ay = y/(At + t)-y/(t), причому при At —> 0 , Ax —> 0 та Ay —> 0. Тому

(*) to» (VI

Отже, похідну функції, яка задана параметрично, знаходять за формулою

у' = — •          (15)

xt

Усі правила та одержані формули знаходження похідних доціль-но записати у вигляді таблиці і добре запам’ятати тому, що вони часто використовуються. Така таблиця є в цьому підручнику (дивись таб-лицю 5 наприкінці).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»