8.2. Знаходження похідних першого порядку 8.2.1. Основні правила диференціювання


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Правила сформулюємо у вигляді теорем. + Теорема 1. Похідна постійної величини С дорівнює нулю, тобто С' = 0.

Доведення. Дійсно, нехай у = С, тоді Ау = 0 для будь-якого Ах, в тому числі і при Ах —> 0. Згідно з означенням похідної

у' = lim —^ = lim — = 0 ,

^^0 Ах ^^° Ах

що і треба було довести.

+ Теорема 2. Якщо кожна із функцій ft(x), f2(x),..., fn(x)

(n - скінченне число) диференційована в деякі точці х, то їх алгебраїчна сума також є диференційованою в цій точці, причо-му похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі їх похідних, тобто

\fi(x) + f2(x) + ... + fn(x)] = f'(x) + f2 (х)± ...+fn (х). (10)

Доведення. Нехай у = f1(x) + f2(x)+ ... +fn(x) і аргумент х одержує приріст Ах. Тоді у також одержує приріст

Ay = [fi(x + Ax)±f2(x + Ax)±...±fn(x + Ax)]-

-U(x)±/2(x)±...±/„(x)] = A/1±A/2± ... ±Д/„.

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Згідно з властивостями границі і з тим, що існують похідні функцій ft(x), f2(x),..., fn(x) маємо, що у' існує, причому

у' = lim — = lim ^-± lim ^- ± ... ± lim

Ді-ЮДя Дх-ЮД^ Ді-ЮДд;  Д^ОД^

Шдставивши значення у, одержуємо

[Mx)±f2(x)± ... ±fn(x)1 = f;(x)±f2'(x)± ... ±fn'(x),

що і треба було довести.

Аналогічно можна довести слідуючі теореми.

+ Теорема 3. Якщо кожна з функцій и(х) та v(x) диферен-ційована в точці х, то добуток цих функцій також має похідну в точці х, причому цю похідну знаходять за формулою

[u(x)-v(x)] =u'(x)-v(x) + u(x)-v'(x).      (11)

+ Теорема 4. Якщо и(х) та v(x) мають похідні в точці х і

v(x) Ф 0, то частка цих функцій також має похідну в точці х, яку знаходять за формулою

А/-

и(х) v(x)

u(x)-v(x)-u(x)-v'(x)      ( )

v (х)

+ Теорема 5. Якщо у = f(u), и = <р(х) і функції f та <р ди-ференційовані функції своїх аргументів, то існує похідна по х складної функції у, причому вона дорівнює добутку похідної функції у по проміжному аргументу и та похідної функції ср по аргументу х, тобто

Ух=Уи-их.     (13)

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»