Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
Частина 8 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ 8.1. Похідна і диференціал 8.1.1. Деякі задачі, що привели до поняття похідної : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

Частина 8 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ 8.1. Похідна і диференціал 8.1.1. Деякі задачі, що привели до поняття похідної


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

а) Задача про швидкість прямолінійного руху

Нехай тіло рухається прямолінійно вздовж осі Os, але нерівномір-но. Тоді координата s точки буде змінюватись з часом за деяким

законом, тобто s = s(t). Починаючи з деякого моменту t, за час At тіло пройде шлях As = s(t + At) — s(t).

 ґ         As

Середня швидкість v pyxy за проміжок At оуде v = —. Серед-

с          с At

ня швидкість дає лише наближене уявлення про рух в окремі мо-

менти часу. Так, на початку проміжку At тіло могло рухатись при-

скорено, а в кінці цього проміжку часу - уповільнено.

Коли проміжок часу At зменшується, тоді vc наближається до швидкості руху в момент t, що відповідає початку проміжку At.

Ф Означення 1. Миттєвою швидкістю v (або швидкістю в

момент t) називають границю відношення приросту шляху As do

приросту часу At, коли At —> 0, тобто

v(t) = lim —,    (1)

Миттєва швидкість v залежить від часу t, а також від вигляду функції s = s(t).

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

b) Задача про дотичну

Нехай задана функція у = f(x). Графіком цієї функції на пло-

щині хОу буде деяка крива лінія.

• Означення 2. Дотичною до кривої у = f(x) в точці М(х,у) (точка дотику) називають граничне положення МТ січног MMV коли точка М,, рухаючись вздовж кривог, прямуе до точки дотику М (див. мал. 1).

Y^

3 малюнка видно, що тангенс

кута нахилу січної MM. до осі Ох буде

Ay f(x + Ax)-f(x)

tgat =^ =          .

Ax       Ax

Із означення дотичної випли-ває, що її кутовий коефіцієнт

k = tgor є границя, до якої пря-

х + Ах X мує кутовий коефіцієнт kt = tgC^

Мал. 1.

січної при необмеженому набли-женні точки М. до точки М. тоб-

1          7

Отже, одержали k = tga

то при Ах —> 0 .

= lim^ = lim/(3f + Ar)-/(3f) .

Ах

Ах—>0 Лі~ Аж—>0

(2)

с) Задачі про маргінальні вартість, доход, прибуток

Маргінальними витратами називають гранично можливі витра-ти в умовах хоча б постійного відтворення виробництва відповідної продукції. Аналогічно визначають маргінальні доходи та прибуток.

Позначимо через V(x), D(x) та P(x) витрати, доходи та при-буток виробництва х одиниць продукції. Кожна з цих величин є певною функцією кількості одиниць х виробленої та проданої про-дукції.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Якщо підприємство збільшує випуск продукції на Ах одиниць, то ці функції одержать приріст

AV(x) = V(x + Ax)-V(x);

AD(x) = D(x + Ax) - D(x);

AP(x) = P(x + Ax)-P(x).

Відношення приросту функцій до Ax характеризує приріст відпо-відної функції на одиницю приросту продукт, а границя цього відно-

шення при Ах —> 0 стає маргінальною. Отже, маємо: Маргінальна вартість

 AV(x) V(x + Ax)-V(x)           os

lim        = lim   .           (о)

Д*-»0 Ах ^^0 Ах

Маргінальний доход

(4)

lim АД(*) = lim Щх + Ах)-Р(х)

А^0 Ах ^^0    Ах

Маргінальний прибуток

,. АР(х) л. Р(х + Ах)-Р(х)

пт        = пт    .           (5)

^^0 Ах ^^0     Ах

Розглядаючи різні задачі, ми одержимо однакові формули (1)-(5) для їх розв’язків, а саме, шукану величину знаходять шляхом застосування граничного переходу до відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.